第一章 函数 极限 连续

第一节 函数

复合函数

• 复合函数的定义域.
• 分段函数的复合函数.

函数性态

• 单调性的定义：单调增与单调不减，单调减与单调不增.

• 单调性的判定方法：

  1. 定义

  2. 导数：设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上可导，则

     1. $f'(x)>0\Rightarrow f(x)$ 单调增.（反例，$f(x)=x^3$，单调增但是 $f'(0)=0$.）
     2. $f'(x)\ge 0\Leftrightarrow f(x)$ 单调不减.

• 奇偶性的判定方法：

  1. 定义

  2. 设 $f(x)$ 可导，则：

     1. $f(x)$ 是奇函数 $\Rightarrow f(x)$ 是偶函数.
     2. $f(x)$ 是偶函数 $\Leftrightarrow f(x)$ 是奇函数.
  3. 连续的奇函数其原函数都是偶函数.
     连续的偶函数其原函数之一是奇函数.（变上限积分）

• 周期性的判定方法：

  1. 定义.
  2. 可导的周期函数其导函数为周期函数.
  3. 周期函数的原函数不一定是周期函数.（注：周期函数的原函数是周期函数的充要条件是其在一个周期上的积分为零）

• 有界性的判定方法：

  1. 定义
  2. $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续 $\Rightarrow f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界.
  3. $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上连续，且 $f(a^+), f(b^-)$ 存在 $\Rightarrow f(x)$ 在 $(a,b)$ 上有界. （区间 $(a,b)$ 改为无穷区间仍然成立）
  4. $f'(x)$ 在区间 $I$ （有限）上有界 $\Rightarrow f(x)$ 在 $I$ 上有界.

第二节 极限

极限的概念性质及存在准则

• 数列极限：

  1. $\varepsilon-N$ 定义
  2. 几何意义
  3. 数列的极限与前有限项无关
  4. 若 $\lim_{n\to \infty} a_n = a$ ，则 $\{a_n\}$ 有最大（小）值的充要条件是存在 $a_n\ge a(a_n\le a)$. （从几何意义的角度来理解）

• 函数极限：

  1. $\varepsilon-X$ 定义
  2. 与数列极限的差异：正无穷，负无穷，无穷
  3. 函数在点 $x_0$ 处的极限如果存在，极限值等于多少仅与 $f(x)$ 在 $x_0$ 点的去心邻域内的函数值有关，而与 $f(x)$ 在 $x_0$ 处是否有定义，如果有定义函数值等于多少无关

• 极限的性质：

  1. 局部有界性
  2. 保号性
  3. 极限值与无穷小之间的关系

• 极限存在准则：

  1. 夹逼准则
  2. 单调有界准则

• 无穷小：

  1. 无穷小的阶
  2. 无穷小的性质

• 无穷大：

  1. $\ln^\alpha n \ll n^{\beta}\ll a^n\ll n!\ll n^n(\alpha > 0, \beta > 0, a >1)$
  2. 无穷大量一定是无界变量，无界变量不一定是无穷大量
  3. 无穷大与无穷小的关系：在自变量的同一变化过程中，若 $f(x)$ 是无穷大，则 $\dfrac{1}{f(x)}$ 是无穷小；若 $f(x)$ 是无穷小，且 $f(x)\not = 0$，则 $\dfrac{1}{f(x)}$ 是无穷大

  求极限

• 求极限的常用方法：

  1. 利用有理运算法则求极限。

     • 若 $\lim \dfrac{f(x)}{g(x)}$ 存在，且 $\lim g(x) = 0$，则 $\lim f(x)=0$
     • 若 $\lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = A \not= 0$，且 $\lim f(x)=0$，则 $\lim g(x)=0$
     • 存在 $\pm$ 不存在 = 不存在， 不存在 $\pm$ 不存在 = 不一定

  2. 利用基本极限求极限

     • 常用的基本极限

  3. 利用等价无穷小代换求极限

     • 常用的等价无穷小

     • 变上限积分的等价代换：设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内连续，且 $\lim_{x\to 0} \dfrac{f(x)}{g(x)}=1$，则

       $$ \int_{0}^xf(t)\mathrm{d}t\sim\int_{0}^xg(t)\mathrm{d}t $$

     • 等价无穷小代换的原则

  4. 利用洛必达法则求极限

     • $\dfrac{0}{0}$
     • $\dfrac{\infty}{\infty}$，分子不为 $\infty$ 也可以用
     • 其余都可转化为上面两种
     • $1^{\infty}$ 可以写成 $(1+\alpha)^{\beta}$ 来做

  5. 利用泰勒公式求极限

     • 展开到几次幂？：相加/减后的最低次幂
  6. 利用夹逼准则求极限
  7. 利用定积分的定义求极限
  8. 利用单调有界准则求极限

• 求极限常见题型

  • 函数的极限

    1. “$\dfrac{0}{0}$”型极限。
       常用方法：
       （1）洛必达法则
       （2）等价无穷小代换
       （3）泰勒公式
       使用的同时要注意将原式化简，常用方法有极限非零的因子极限先求出来、有理化、变量代换等。
       如果是同型函数相减，还可以考虑用拉格朗日中值定理。
    2. “$\dfrac{\infty}{\infty}$”型极限
       常用方法：
       （1）洛必达法则
       （2）分子分母同除以分子和分母各项中最高阶的无穷大
    3. “$\infty - \infty$”型极限
       常用方法：
       （1）通分化为 $\dfrac{0}{0}$ （适用于分式差）
       （2）根式有理化（适用于根式差）
       （3）提无穷因子，然后等价代换或变量代换、泰勒公式
    4. “$0\cdot \infty$”型极限
       常用方法：化为“$\dfrac{0}{0}$”型或“$\dfrac{\infty}{\infty}$”型
    5. “$1^\infty$” 型极限
       常用方法：
       （1）凑基本极限
       （2）改写成指数再用洛必达法则
       （3）利用结论：若 $\lim\alpha(x)=0,\lim\beta(x)=\infty$，且 $\lim\alpha(x)\beta(x)=A$，则 $\lim[1+\alpha(x)]^{\beta(x)}=e^A$
    6. “$\infty^0, 0^0$” 型极限
       常用方法：改写成指数形式

  • 数列的极限

    1. 不定式
       常用方法：同求解函数不定式，但是不能直接用洛必达法则，需要改写成函数后再用洛必达法则。还有用无穷量阶、相邻两项比的结论等方法。
    2. $n$ 项和的数列极限
       常用方法：
       （1）夹逼原理
       （2）定积分定义
       （3）级数求和
       夹逼原理与定积分定义方法的选择：变化部分是主体次量级，用夹逼原理；同量级用定积分定义。
    3. $n$ 项连乘的数列极限
       常用方法：
       （1）夹逼原理
       （2）取对数化为 $n$ 项和
    4. 递推关系 $x_1=a, x_{n+1}=f(x_n)(n=1,2,\dots)$ 定义的数列
       常用方法：
       （1）先证明数列 $\{x_n\}$ 收敛（常用单调有界准则），然后令 $\lim\limits_{n\to \infty}x_n=A$，等式 $x_{n+1}=f(x_n)$ 两端取极限得 $A=f(A)$，由此求得极限 $A$
       （2）先令 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=A$，然后等式 $x_{n+1}=f(x_n)$ 两端取极限解得 $A$，得到极限初步结果，最后再证明 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=A$
       一般来说，数列具有单调性用方法一，不具有单调性或者单调性很难判定用方法二。

确定极限式中参数

无穷小量阶的比较